7.7.xa. Exercise answers

1.
│Fa
├─
│ⓑ
│││¬ Fb
││├─
│││○ Fa, ¬ Fb ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 2
│├─
2 IP ││Fb 1
├─
1 UG │∀x Fx
 
2.
│∀x Rxx a:1, b:3
├─
1 UI │Raa
│ⓑ
3 UI ││Rbb
││
│││¬ Rba
││├─
│││○ Raa, Rbb, ¬ Rba ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 4
│├─
4 IP ││Rba 2
├─
2 UG │∀x Rxa
 
3.
│∀x ¬ Fx a:3
├─
││∀x Fx a:2
│├─
2 UI ││Fa (4)
3 UI ││¬ Fa (4)
││●
│├─
4 Nc ││⊥ 1
├─
1 RAA │¬ ∀x Fx
 
│¬ ∀x Fx
├─
│ⓐ
│││Fa
││├─
││││ⓑ
││││││¬ Fb
│││││├─
││││││○ Fa, ¬ Fb ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 5
││││├─
5 IP │││││Fb 4
│││├─
4 UG ││││∀x Fx 3
││├─
3 CR │││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ Fa 1
├─
1 UG │∀x ¬ Fx
 


4.
(∀x: Wx) ¬ Gx
(∀x: Zx) ¬ Wx
(∀x: Zx) ¬ Gx
│∀x (Wx →  ¬ Gx) a:6
│∀x (Zx →  ¬ Wx) a:3
├─
│ⓐ
│││Za (4)
││├─
3 UI │││Za → ¬ Wa 4
4 MPP │││¬ Wa
│││
││││Ga (7)
│││├─
6 UI ││││Wa →  ¬ Ga 7
7 MTT ││││¬ Wa
││││○ Za, ¬ Wa, Ga ⇏ ⊥
│││├─
││││⊥ 5
││├─
5 RAA │││¬ Ga 2
│├─
2 CP ││Za → ¬ Ga 1
├─
1 UG │∀x (Zx →  ¬ Gx)
 



5.
(∀x: Wx) ¬ Gx ⇔ ¬ (∀x: Wx) Gx
│∀x (Wx →  ¬ Gx) a:2
├─
││∀x (Wx →  Gx) a:3
│├─
2 UI ││Wa →  ¬ Ga 4
3 UI ││Wa →  Ga 6, 8
││
││││¬ Wa
│││├─
││││││¬ Wa
│││││├─
││││││○ ¬ Wa ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 7
││││├─
7 IP │││││Wa 6
││││
│││││Ga
││││├─
│││││○ ¬ Wa,Ga ⇏ ⊥
││││├─
│││││⊥ 6
│││├─
6 RC ││││⊥ 5
││├─
5 IP │││Wa 4
││
│││¬ Ga (8)
││├─
8 MTT │││¬ Wa
│││○ ¬ Wa,¬ Ga ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 4
│├─
4 RC ││⊥ 1
├─
1 RAA │¬ ∀x (Wx →  Gx)
 
divides the 1st and 2nd gaps

divides the 1st and 3rd gaps
 
│¬ ∀x (Wx →  Gx) 4
├─
│ⓐ
│││Wa
││├─
││││Ga
│││├─
│││││ⓑ
│││││││Wb
││││││├─
││││││││¬ Gb
│││││││├─
││││││││○ Wa, Ga, Wb, ¬ Gb ⇏ ⊥
│││││││├─
││││││││⊥ 7
││││││├─
7 IP │││││││Gb 6
│││││├─
6 CP ││││││Wb →  Gb 5
││││├─
5 UG │││││∀x (Wx →  Gx) 4
│││├─
4 CR ││││⊥ 3
││├─
3 RAA │││¬ Ga 2
│├─
2 CP ││Wa → ¬ Ga 1
├─
1 UG │∀x (Wx →  ¬ Gx)
 
6.
│∀x (Fx ∨ ¬ Sx) a:4, b:9
├─
││¬ ∀x Fx 6
│├─
││ⓐ
││││Sa (5)
│││├─
4 UI ││││Fa ∨ ¬ Sa 5
5 MTP ││││Fa
││││
│││││ⓑ
│││││││¬ Fb (10)
││││││├─
9 UI │││││││Fb ∨ ¬ Sb 10
10 MTP │││││││¬ Sb
│││││││○ Sa,Fa,¬ Fb,¬ Sb ⇏ ⊥
││││││├─
│││││││⊥ 8
│││││├─
8 IP ││││││Fb 7
││││├─
7 UG │││││∀x Fx 6
│││├─
6 CR ││││⊥ 3
││├─
3 RAA │││¬ Sa 2
│├─
2 UG ││∀y ¬ Sy 1
├─
1 PE │∀x Fx ∨ ∀y ¬ Sy
7.
│¬ ∀x ¬ ∀y Rxy 4
├─
│ⓐ
│││∀y ¬ Ray a:3, b:6
││├─
3 UI │││¬ Raa
│││
││││ⓑ
6 UI │││││¬ Rab
│││││
││││││∀y Rby a:8, b:9
│││││├─
8 UI ││││││Rba
9 UI ││││││Rbb
││││││○ ¬ Raa,¬ Rab,Rba,Rbb ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 7
││││├─
7 RAA │││││¬ ∀y Rby 5
│││├─
5 UG ││││∀x ¬ ∀y Rxy 4
││├─
4 CR │││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ ∀y ¬ Ray 1
├─
1 UG │∀x ¬ ∀y ¬ Rxy
 
Glen Helman 15 Aug 2006