7.7.xa. Exercise answers

These answers handle restricted quantifiers using the rules RUG, SB, SC, and MCR rather than RUP and RUC; see 7.6.xa for advice for converting them into derivations that instead use the latter rules along with rules for conditionals.

1.
│Fa
├─
│ⓑ
│││¬ Fb
││├─
│││○ Fa, ¬ Fb ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 2
│├─
2 IP ││Fb 1
├─
1 UG │∀x Fx
 
2.
│∀x Rxx a:1, b:3
├─
1 UI │Raa
│ⓑ
3 UI ││Rbb
││
│││¬ Rba
││├─
│││○ Raa, Rbb, ¬ Rba ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 4
│├─
4 IP ││Rba 2
├─
2 UG │∀x Rxa
 

3.
│∀x ¬ Fx a:3
├─
││∀x Fx a:2
│├─
2 UI ││Fa (4)
3 UI ││¬ Fa (4)
││●
│├─
4 Nc ││⊥ 1
├─
1 RAA │¬ ∀x Fx
 
│¬ ∀x Fx
├─
│ⓐ
│││Fa
││├─
││││ⓑ
││││││¬ Fb
│││││├─
││││││○ Fa, ¬ Fb ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 5
││││├─
5 IP │││││Fb 4
│││├─
4 UG ││││∀x Fx 3
││├─
3 CR │││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ Fa 1
├─
1 UG │∀x ¬ Fx
 




4.
│(∀x: Wx) ¬ Gx a:4
│(∀x: Zx) ¬ Wx a:2
├─
│ⓐ
││Za (2)
│├─
2 SB ││¬ Wa
││
│││Ga (4)
││├─
4 SC │││¬ Wa
│││○ Za, ¬ Wa, Ga ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 3
│├─
3 RAA ││¬ Ga
├─
1 RUG │(∀x: Zx) ¬ Gx
 





5.
│(∀x: Wx) ¬ Gx a:2
├─
││(∀x: Wx) Gx a:4,a:6
│├─
││││¬ Wa
│││├─
││││││¬ Wa
│││││├─
││││││○ ¬ Wa ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 5
││││├─
5 IP │││││Wa 4
││││
│││││Ga
││││├─
│││││○ ¬ Wa,Ga ⇏ ⊥
││││├─
│││││⊥ 4
│││├─
4 MCR ││││⊥ 3
││├─
3 IP │││Wa 2
││
│││¬ Ga (6)
││├─
6 SC │││¬ Wa
│││○ ¬ Wa,¬ Ga ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 2
│├─
2 MCR ││⊥ 1
├─
1 RAA │¬ (∀x: Wx) Gx
 


divides the 1st and 2nd gaps


divides the 1st and 3rd gaps

 
│¬ (∀x: Wx) Gx
├─
│ⓐ
││Wa
│├─
│││Ga
││├─
││││ⓑ
│││││Wb
││││├─
││││││¬ Gb
│││││├─
││││││○ Wa, Ga, Wb, ¬ Gb ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 5
││││├─
5 IP │││││Gb 4
│││├─
4 RUG ││││(∀x: Wx) Gx 3
││├─
3 CR │││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ Ga 1
├─
1 RUG │(∀x: Wx) ¬ Gx
 

6.
│∀x (Fx ∨ ¬ Sx) a:4, b:9
├─
││¬ ∀x Fx
│├─
││ⓐ
││││Sa (5)
│││├─
4 UI ││││Fa ∨ ¬ Sa 5
5 MTP ││││Fa
││││
│││││ⓑ
│││││││¬ Fb (10)
││││││├─
9 UI │││││││Fb ∨ ¬ Sb 10
10 MTP │││││││¬ Sb
│││││││○ Sa,Fa,¬ Fb,¬ Sb ⇏ ⊥
││││││├─
│││││││⊥ 8
│││││├─
8 IP ││││││Fb 7
││││├─
7 UG │││││∀x Fx 6
│││├─
6 CR ││││⊥ 3
││├─
3 RAA │││¬ Sa 2
│├─
2 UG ││∀y ¬ Sy 1
├─
1 PE │∀x Fx ∨ ∀y ¬ Sy
 

7.
│¬ ∀x ¬ ∀y Rxy
├─
│ⓐ
│││∀y ¬ Ray a:3, b:6
││├─
3 UI │││¬ Raa
│││
││││ⓑ
6 UI │││││¬ Rab
│││││
││││││∀y Rby a:8, b:9
│││││├─
8 UI ││││││Rba
9 UI ││││││Rbb
││││││○ ¬ Raa,¬ Rab,Rba,Rbb ⇏ ⊥
│││││├─
││││││⊥ 7
││││├─
7 RAA │││││¬ ∀y Rby 5
│││├─
5 UG ││││∀x ¬ ∀y Rxy 4
││├─
4 CR │││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ ∀y ¬ Ray 1
├─
1 UG │∀x ¬ ∀y ¬ Rxy
 

Glen Helman 01 Aug 2004