6.4.xa. Exercise answers

1. a.
τFτ
0T
1T
2F
 
τGτ
0F
1T
2T
 
R0 1 2 
0F F F 
1F F T 
2T T T 

  b.
  c.
2. a.
( F a ∨ G b ) → R a b
F 3 T T 4 Ⓕ F 3 4
  b.
R ( f c a )( f a c )
Ⓣ 1 0 3 4 3 0
  c.
f a b = f b a
0 3 4 Ⓕ 2 4 3
3. a. Without attachment rules:
│a = a → Fa 2
├─
││¬ Fa (2)
│├─
2 MTT ││¬ a = a (3)
││●
│├─
3 DC ││⊥ 1
├─
1 IP │Fa
  Using attachment rules:
│a = a → Fa 2
├─
1 CE │a = a X,(2)
2 MPP │Fa (3)
│●
├─
3 QED │Fa
  b.
│¬ (Fa ∧ Fb) 3
├─
││¬ Fa
│├─
│││Fb (3)
││├─
3 MPT │││¬ Fa
│││○ ¬ Fa,Fb ⇏ ⊥
││├─
│││⊥ 2
│├─
2 RAA ││¬ Fb 1
├─
1 CP │¬ Fa → ¬ Fb
 
range: 1, 2  
a b
1 2
 
τ Fτ
1 F
2 T
¬ ( F a ∧ F b ) / ¬ F a → ¬ F b
Ⓣ F 1 F T 2 T F 1 Ⓕ F T 2
  c.
│a = b ∨ b = a 1
├─
││a = b a—b
│├─
│││●
││├─
3 EC │││a = b 2
││
│││●
││├─
4 EC │││b = a 2
│├─
2 Cnj ││a = b ∧ b = a 1
│
││b = a a—b
│├─
│││●
││├─
6 EC │││a = b 5
││
│││●
││├─
7 EC │││b = a 5
│├─
5 Cnj ││a = b ∧ b = a 1
├─
1 PC │a = b ∧ b = a
  d.
│Fa → a = b 3
│ga = b a, b—ga
│Ra(ga) → Fa 5
│F(ga)
├─
││Raa (6)
│├─
│││¬ R(ga)(ga) (6)
││├─
│││││¬ Fa (5)
││││├─
5 MTT │││││¬ Ra(ga)
│││││○ b=ga,F(ga),Raa,¬ R(ga)(ga),¬ Fa,¬ Ra(ga) ⇏ ⊥
││││├─
│││││⊥ 4
│││├─
4 IP ││││Fa 3
│││
││││a = b a—b—ga
│││├─
││││●
│││├─
6 Nc= ││││⊥ 3
││├─
3 RC │││⊥ 2
│├─
2 IP ││R(ga)(ga) 1
├─
1 CP │Raa → R(ga)(ga)
   
range: 1, 2  
a b
1 2
 
τ gτ
1 2
2 1
 
τ Fτ
1 F
2 T
 
R 1 2
1 T F
2 F F
   
 
F a → a = b , g a = b , R a ( g a ) → F a , F ( g a ) / R a a → R ( g a )( g a )
F 1 Ⓣ 1 F 2 2 1 Ⓣ 2 F 1 2 1 Ⓣ F 1 Ⓣ 2 1 T 1 1 Ⓕ F 2 1 2 1
  e.
│a = b → Rac 3
│¬ a = b → Rbc 2
├─
││¬ Rbc (2),(4)
│├─
2 MTT ││a = b a—b, c; (3)
3 MPP ││Rac (4)
││●
│├─
4 Nc= ││⊥ 1
├─
1 IP │Rbc
Glen Helman 24 Oct 2004